Razões Trigonométricas



O ciclo trigonométrico é uma circunferência de centro (0,0) e raio igual a 1. Associamos cada número real x a um único ponto P da circunferência; dizemos que P é a imagem de x no ciclo.



Ciclo Trigonométrico — Atividade 1

Para revisar o conceito de ciclo trigonométrico recomendamos a atividade

Explorando o Ciclo Trigonométrico


Função Seno — Atividade 2


Dado um ponto P do ciclo, seja x a medida do arco associado a P. Denominamos seno de x (indicado por sen x), a ordenada do ponto P em relação ao sistema xOy.

a) Atribua alguns valores positivos e/ou negativos à x. (Para isso basta clicar com o mouse no ponto P e percorrer o ciclo trigonométrico.)

b) Quais os valores de sen 0º, sen 90º, sen 180º, sen 270º e sen 360º?

c) Quais os valores mínimo e máximo de sen P?

d) Para que valores de x, tem-se sen x > 0? E sen x < 0?

e) Em que quadrantes a função seno é crescente? E decrescente?

Função Cosseno — Atividade 3

Dado um ponto P do ciclo, seja x a medida do arco associado a P. Denominamos cosseno de x (indicado por sen x), a abscissa do ponto P em relação ao sistema xOy.

a) Atribua alguns valores positivos à x. (Para isso basta alterar o valor apresentado na parte inferior do gráfico ou clicar nas setas.)

b) Quais os valores de cos 0º, cos 90º, cos 180º, cos 270º e cos 360º?

c) Quais os valores mínimo e máximo de cos x?

d) Para que valores de x, tem-se cos x > 0? E cos x < 0?

e) Em que quadrantes a função cosseno é crescente? E decrescente?

Função Tangente — Atividade 4

Dado um ponto P do ciclo, seja x a medida do arco associado a P. Denominamos tangente de x (indicado por tg x), o segmento contido no eixo das tangentes, com extremidades em (1,0) e no ponto em que o segmento que passa pela origem do sistema cartesiano e pelo ponto P, intercepta o eixo das tangentes.

A tangente de x é a razão entre sen x e cos x, ou seja, tg x = sen x/cos x.

a) Atribua alguns valores positivos à P. (Para isso basta alterar o valor apresentado na parte inferior do gráfico ou clicar nas setas.)

b) Quais os valores de tg 0º, tg 90º, tg 180º, tg 270º e tg 360º?

c) Qual é a imagem de tg x?

d) Para que valores de x, tem-se tg x > 0? E tg x < 0?

e) Em que quadrantes a função tangente é crescente? E decrescente?

f) Existem valores para x tal que a tg x não é definida? Em caso afirmativo, quais são esses valores?

Função Cotangente — Atividade 5

Dado um ponto P do ciclo, seja x a medida do arco associado a P. Denominamos cotangente de x (indicado por cotg x), o segmento contido no eixo das cotangentes, com extremidades em (0,1) e no ponto em que o segmento que passa pela origem do sistema cartesiano e pelo ponto P, intercepta o eixo das cotangentes.

A cotangente de x é o inverso da tangente de x, ou seja, cotg x = 1/tg x; portanto, a igualdade cotg P = cos P/sen P também é válida.

a) Atribua alguns valores positivos à x. (Para isso basta alterar o valor apresentado na parte inferior do gráfico ou clicar nas setas.)

b) Quais os valores de cotg 0º, cotg 90º, cotg 180º, cotg 270º e cotg 360º?

c) Qual é a imagem de cotg x?

d) Para que valores de x, tem-se cotg x > 0? E cotg x < 0?

e) Em que quadrantes a função cotangente é crescente? E decrescente?

f) Existem valores para x tal que a cotg P não é definida? Em caso afirmativo, quais são esses valores?

Funções: Cossecante e Secante — Atividade 6

Dado um ponto P do ciclo, seja x a medida do arco associado a P. Denominamos cossecante de x (indicado por cossec x), o segmento contido no eixo y, com extremidades em (0,0) e no ponto em que a reta tangente à circunferência no ponto x, intercepta o eixo y.

Dado um ponto x do ciclo, denominamos secante de x (indicado por sec x), o segmento contido no eixo x, com extremidades em (0,0) e no ponto em que a reta tangente à circunferência no ponto P, intercepta o eixo x.

A cossecante de x é o inverso do seno de x, ou seja, cossec x = 1/sen x.

a) Atribua alguns valores positivos à x. (Para isso basta alterar o valor apresentado na parte inferior do gráfico ou clicar nas setas.)

b) Quais os valores de sec 0º, sec 90º, sec 180º, sec 270º e sec 360º?

c) Quais os valores de cossec 0º, cossec 90º, cossec 180º, cossec 270º e cossec 360º?

d) Qual é a imagem da sec x? E da cossec x?

e) Para que valores de x, tem-se sec x > 0? E sec x < 0?

f) Em que quadrantes a função secante é crescente? E decrescente?

g) Existem valores para x tal que a sec P não é definida? Em caso afirmativo, quais são esses valores?

h) Para que valores de x, tem-se cossec x > 0? E cossec x < 0?

i) Em que quadrantes a função cossecante é crescente? E decrescente?

j) Existem valores para x tal que a cossec P não é definida? Em caso afirmativo, quais são esses valores?

k) À medida que a sec x aumenta, o que acontece com a cossec x?