Álgebra
Principal
Pesquisadores
Publicações e Artigos
Fotos
Desafios

Considerando que o uso da linguagem simbólica nas suas diversas funções, com compreensão, é um objetivo importante do ensino de Álgebra, a comunicação de idéias por meio de símbolos merece atenção especial. Nosso desejo é então de que estudantes e professores se dediquem mais à análise e à interpretação dos problemas e suas soluções, onde são utilizados diversos tipos de símbolos. Com esta finalidade apresentamos o seguinte desafio:

 

" Tome um número ímpar, calcule seu quadrado e subtraia uma unidade. O que pode ser dito sobre os números resultantes?" 

Resposta do desafio acima citado

Para pensar sobre esses números, daremos alguns exemplos e observaremos a tabela.

 
Número ímpar Quadrado do número ímpar Quadrado do número ímpar menos 1

3

9

8

5

25

24

9

81

80

13

169

168

15

225

224

 

Observando a tabela, podemos observar que todos os números da última coluna são:

Pares, múltiplos de 4 e múltiplos de 8. Vamos provar que isso vale para qualquer número ímpar escolhido. Basta então provar que o número resultante é múltiplo de 8.

 

Todo número par pode ser representado por  2n, sendo n inteiro.

Então todo número ímpar pode ser representado por  2n +1 ou por 2n -1, sendo n inteiro.

Faremos as contas para as duas opções. Chamemos de N o número resultante.

 

N = (2n + 1)2 - 1

N = 4n2 + 4n + 1 - 1

N = 4n2 + 4n

N = 4 n(n + 1)

N = (2n - 1)2 - 1

N = 4n2 - 4n + 1 - 1

N = 4n2 - 4n

N = 4 n(n - 1)

 

Em ambas as opções, tem-se que:

- N é o produto de 4 por um produto de dois números inteiros consecutivos:

 n e (n+1)    ou    n e (n-1).

- Nos dois casos, um desses fatores é par e o outro é ímpar, logo o produto é par.

- O produto N de 4 por um número par é múltiplo de 8.

 

Comentário - Este desafio envolve muitos conceitos e, principalmente, requer maturidade do aluno em termos de raciocínio algébrico, ou de leitura e escrita de expressões algébricas.

Ele está ao final de uma atividade, com observações interessantes para quem quiser fazer trabalho neste sentido em sala de aula.

 
< Anterior

© 2015 Projeto Fundão
Universidade Federal do Rio de Janeiro